• Геометрия. Перпендикулярные прямые

    Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

    А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые на плоскости или в трехмерном пространстве?

    Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых . Сформулируем его в виде теоремы.

    Теорема.

    a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b .

    Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

    Добавим конкретики.

    Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданыуравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b . Обозначим направляющие векторы прямых а и b как и соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

    Итак, a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

    Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

    Пример.

    В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Перпендикулярны ли прямые АВ и АС ?

    Решение.

    Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС . Обратившись к статье координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС . Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.



    Ответ:

    да, прямые перпендикулярны.

    Пример.

    Являются ли прямые и перпендикулярными?

    Решение.

    Направляющий вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

    Ответ:

    нет, прямые не перпендикулярны.

    Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

    Пример.

    Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

    Решение.

    Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

    Ответ:

    прямые перпендикулярны.

    Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

    Теорема.

    Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b .

    Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида , уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом .



    Пример.

    Убедитесь, что прямые и перпендикулярны.

    Решение.

    По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой . Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

    Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

    В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – вида , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами .

    Пример.

    Перпендикулярны ли прямые и ?

    Решение.

    Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

    Ответ:

    заданные прямые перпендикулярны.

    Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

    Теорема.

    Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

    Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

    Пример.

    Являются ли прямые и перпендикулярными?

    Решение.

    Очевидно, - нормальный вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов(не существует такого действительного числа t , при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

    Ответ:

    прямые не перпендикулярны.

    21. Расстояние от точки до прямой.

    Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

    Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a . Проведем через точку M 1 прямую b , перпендикулярную прямой a . Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , проведенным из точки M 1 к прямой a .

    Определение.

    Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .

    Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

    Определение.

    Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

    Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

    Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

    Возьмем на прямой a точку Q , не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называютнаклонной , проведенной из точки M 1 к прямой a . Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a , меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a . Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q , а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

    22. Плоскость в пространстве R3. Уравнение плоскости.

    Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется общим уравнением плоскости.

    Определение. Вектор перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

    Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек , не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде: .

    Вычислив данный определитель, получим общее уравнение плоскости.

    Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

    Решение:

    Уравнение плоскости: .

    23. Исследование общего уравнения плоскости.

    О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

    Если известна фиксированная точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM 0 (x 0 , y 0 , z 0), перпендикулярно вектору , имеет вид

    A (x-x 0)+ B (y-y 0) + C (z-z 0)= 0. (3.22)

    Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

    .Ax + By+ Cz + (-Ax 0 - By -Cz 0)= 0

    ОбозначивD = -Ax 0 - By -Cz 0 , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

    Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

    Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

    Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

    Ответ: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

    Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ .

    Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

    Ответ: z + 1 = 0.

    24. Расстояние от точки до плоскости.

    Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых заданная точка, а другая – проекция заданной точки на заданную плоскость.

    Пусть в трехмерном пространстве задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называют перпендикуляром , опущенным из точки М 1 на плоскость , а точку H 1 основанием перпендикуляра .

    Определение.

    – это расстояние от данной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки к заданной плоскости.

    Чаще встречается определение расстояние от точки до плоскости в следующем виде.

    Определение.

    Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

    Следует отметить, что расстояние от точки М 1 до плоскости , определенное таким образом, является наименьшим из расстояний от заданной точки М 1 до любой точки плоскости . Действительно, пусть точка H 2 лежит в плоскости и отлична от точки H 1 . Очевидно, треугольник М 2 H 1 H 2 является прямоугольным, в нем М 1 H 1 – катет, а M 1 H 2 – гипотенуза, следовательно, . Кстати, отрезок M 1 H 2 называется наклонной , проведенной из точки М 1 к плоскости . Итак, перпендикуляр, опущенный из заданной точки на заданную плоскость, всегда меньше наклонной, проведенной из этой же точки к заданной плоскости.

    Если прямая проходит через две заданные точки , то ее уравнение записывают в виде: .

    Определение. Вектор называется направляющим вектором прямой, если он параллелен или принадлежит ей.

    Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

    Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: - каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и . Вектор - направляющий вектор прямой.

    26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

    Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

    Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

    Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

    В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

    После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать онаправляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

    Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

    Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

    27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

    Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

    Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

    Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

    Теорема доказана.

    Определение перпендикулярных прямых

    Перпендикулярные прямые.

    Пусть а и b - прямые, пересекающиеся в точке А (рис. 1). Каждая из этих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть альфа - один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом альфа, либо вертикальным с углом альфа.

    Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже будут прямые, В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.
    Определение.
    Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 2).


    Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥ Запись а ⊥ b читается: Прямая а перпендикулярна прямой b.
    Теорема.

    Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

    Доказательство.
    Пусть а - данная прямая и А - данная точка на ней. Обозначим через ах одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 3). Отложим от полупрямой а1 угол (a1b1), равный 90°.
    Тогда прямая, содержащая луч b1, будет перпендикулярна прямой а.


    Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b2. Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а1. Но от полупрямой а1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.

    Определение.

    Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
    На рисунке 4 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В - основание перпендикуляра.

    Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 5).


    Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Перпендикулярность прямых АС и ВD обозначается так: АС ⊥ ВD (читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой ВD»).
    Отметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (рис. 6,а). В самом деле, рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой РQ (рис. 6,б). Мысленно перегнем рисунок по прямой РQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1. Аналогично, луч QВ наложится на луч QB1. Поэтому, если предположить, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую точку М1 также лежащую на этих прямых (рис. 6,в), и мы получим, что через точки М и М1 проходят две прямые: АА1 и ВВ1. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.


    Построение прямых углов на местности

    Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, простейшим из которых является экер. Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике (рис. 7). На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (прямая ОВ на рисунке 7). Получается прямой угол АОВ.
    В геодезии для построения прямых углов используются более совершенные приборы, например теодолит.


    По горизонтали:
    3 . Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с ее центром. 6 . Утверждение, не требующее доказательства. 9 . Конструкция, система мысли. 10 . Вид четырехугольника. 15 . Отрезок прямой, соединяющий две точки кривой. 16 . Мера длины. 17 18 . Точка пересечения диаметров окружности. 19 . Тригонометрическая функция. 20 . Часть окружности. 21 . Старинная мера длины.
    По вертикали:
    1 . Символ какого-либо алфавита. 2 . Вид параллелограмма. 4 . Хорда, проходящая через центр окружности. 5 . Геометрический элемент. 7 . Луч, делящий угол пополам. 8 . Символ греческого алфавита. 10 . Сумма длин сторон треугольника. 11 . Вспомогательное предложение, используемое для доказательства. 12 . Элемент прямоугольного треугольника. 13 . Одна из замечательных линий треугольника. 14 . Тригонометрическая функция.

    Есть такая задача:

    В Заколдованном Лесу било 10 заколдованных источников - номер 1, 2, 3,... 10. Вода каждого источника была неотличима на цвет, вкус и запах от обычной воды, но являлась сильнейшим ядом. Выпивший её был обречён - если только в течение часа после этого не пил воды источника с бОльшим номером (например, от яда источника 3 спасали источники 4-10; яд 10-го источника не оставлял шансов на спсасение). Первые 9 источников были общедоступны, но источник 10 был в пещере Кащея Бессмертного, и доступ к нему имел только Кащей.
    И вот однажды Иван-Дурак вызвал Кащея на поединок. Условия были простыми: каждый приносит с собой по стакану некоторой жидкости, соперники обмениваются стаканами и выпивают их содержимое. А дальше - справляются, как могут.
    Кащей был доволен. Ещё бы: он даст Ивану яд номер 10, и Ивана ничто не сможет спасти. А сам он яд, данный Иваном, запьёт водой 10-го источника - и будет спасён.
    Попробуйте разработать план дуэли для Ивана. Задача - остаться жить самому и прикончить Кащея.

    Ответ 1. Угробить Кащея. Ему нужно дать не яд, а чистую воду. Он запьёт её своим ядом - и он обречён.
    Ответ 2. Не угробиться самому. Любой яд, кроме номера 1, может являться и противоядием. Перед тем, как придти на дуэль, нужно выпить яд малого номера. И тогда яд номер 10, полученный от Кащея на дуэли, не убьёт, а спасёт.

    Вообще, идея-то тривиальная. Не всегда можно взвесить поступок изолированно. Одно и то же действие может оказаться и ядом, и противоядием. Многое зависит от фона. Не буду говорить, что всё - но, несомненно, многое.
    И когда вы слышите, что кто-то из ваших знакомых совершил Такую-То и Такую-То Гадости, не спешите вешать ярлыки. Уверены ли вы, что это именно гадости? Не может ли быть, что они просто выглядят так? Уверены ли вы, что фон этих действий вам известен?

    Построение перпендикулярной прямой

    Сейчас мы с вами с помощью циркуля попробуем построить перпендикулярную прямую. Для этого у нас есть точка О и прямая а.



    На первом рисунке изображена прямая на которой лежит точка О, а на втором данная точка не лежит на прямой а.

    Теперь давайте по отдельности рассмотрим эти оба варианта.

    1-й вариант

    Вначале мы берем циркуль, ставим его в центр точки О и чертим окружность с произвольным радиусом. Теперь мы видим, что данная окружность пересекает прямую а в двух точках. Пускай это будут точки А и В.


    Далее, мы берем и проводим окружности из точек А и В. Радиус этих окружностей будет АВ, а вот точка С будет точкой пересечения этих окружностей. Если вы помните, то в самом начале мы с вами получили точки А и В, когда чертили окружность и брали произвольный радиус.



    В итоге мы видим, что искомая перпендикулярная прямая проходит через точки С и О.

    Доказательство

    Для данного доказательства нас нужно провести отрезки AC и CB. И мы видим, что образовавшиеся треугольники равны: Δ ACO = Δ BCO, это следует из третьего признака равенства треугольников, то есть у нас выходит, что AO = OB, AC = CB, а СО общая по построению. Образовавшиеся углы ∠ COA и ∠ COB равны и оба имеют величину, равную 90 °. Из этого следует, что прямая CO перпендикулярна AB.



    Отсюда мы можем сделать вывод, что углы, образованные при пересечении двух прямых являются перпендикулярными в том случае, если хотя бы один из них перпендикулярен, а это значит, что такой угол равен 90 градусам и является прямым.

    2-й вариант

    А сейчас давайте рассмотрим вариант построения перпендикулярной прямой, где данная точка не лежит на прямой а.

    В этом случае мы с помощью циркуля из точки О проводим окружность с таким радиусом, чтобы эта окружность пересекала прямую а. А точки А и В пускай будут точками пересечения этой окружности с данной прямой а.


    Далее, мы берем такой же радиус, но проводим окружности, центром которых будут точки A и B. Смотрим на рисунок и видим, что у нас появилась точка О1, которая также является точкой пересечения окружностей и лежит в полуплоскости, но отличной от той, в которой находится точка О.



    Следующее, что мы сделаем, так это через точки O и O1проведем прямую. Это и будет та перпендикулярная прямая, которую мы искали.

    Доказательство

    Припустим, что точкой пересечения прямых OO1 и AB является точка С. Тогда треугольники AOB и BO1A равны по третьему признаку равенства треугольников и AO = OB = AO1 = O1B, а АВ является общей по построению. Из этого следует, что углы OAС и O1AC равны. Треугольники OAC и O1AC, следуя из первого признака равенства треугольников AO равняется AO1, а по построению, углы OAС и O1AC равны при общей AС. Следовательно, что угол OСA равен углу O1CA, но а так как они смежные, то значит прямые. Поэтому, делаем вывод, что OC является перпендикуляром, который опущенный из точки O на прямую a.

    Вот так, только с помощью циркуля и линейки, можно легко построить перпендикулярные прямые. И не важно, где находится точка, через которую должен проходит перпендикуляр, на отрезке или вне этого отрезка, главное в этих случаях верно найти и обозначить первоначальные точки А и В.

    Вопросы:

    1. Какие прямые называются перпендикулярными?
    2. Какой угол между перпендикулярными прямыми?
    3. Чем пользуються для построения перпендикулярных прямых?
    Предмети > Математика > Математика 7 класс

    Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
    Прямая a пересекается с прямой b под прямым углом в точке A. Можно зависать используя значок перпендикулярности: a ⊥ b. Это читается так: прямая а перпендикулярна прямой b.
    Следует заметить, что смежный угол и вертикальный угол с прямым углом тоже прямые.

    Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.


    Доказательство.

    Пусть b – данная прямая, а точка A принадлежит этой прямой. Возьмем некоторый луч b1 на прямой b с начальной точкой в A. Отложим от луча b1 угол (a1b1), равный 90°. По определению прямая содержащая луч a1 будет перпендикулярная прямой b.
    Допустим, существует другая прямая перпендикулярная прямой b и проходящая через точку A. Возьмем на этой прямой луч с1, исходящий из точки A и лежащий в той же полуплоскости, что и луч a1. Тогда ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Но согласно аксиоме 8, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 º. Следовательно, нельзя провести другую прямую перпендикулярную прямой b через точку A в заданную полуплоскость. Теорема доказана.

    Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. AB – перпендикуляр к прямой a. Точка A – основание перпендикуляра.

    В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

    Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

    То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

    Определение 1

    Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

    Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

    Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

    Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

    Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

    Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

    Теорема 1

    Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

    Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

    Доказательство 1

    Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = (a x , a y) и b → = b x , b y - это направляющие векторы прямых a и b .

    Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

    Пример 1

    Заданы три точки A (8 , 6) , B (6 , 3) , C (2 , 10) в прямоугольной системе координат О х у. Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

    Решение

    Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

    A B → , A C → = (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 = 0

    Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Пример 2

    Определить, заданные прямые x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ перпендикулярны или нет.

    Решение

    a → = (2 , 3) является направляющим вектором заданной прямой x - 1 2 = y - 7 3 ,

    b → = (1 , - 2) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ .

    Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

    a → , b → = 2 · 1 + 3 · - 2 = 2 - 6 ≠ 0

    Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

    Ответ: прямые не перпендикулярны.

    Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) являются направляющими векторами прямых a и b .

    Пример 3

    Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

    Решение

    Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = (2 , - 1 , 0) и b → = (1 , 2 , 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

    Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

    Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

    Теорема 2

    Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

    Доказательство 2

    Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

    Пример 4

    Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

    Решение

    Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = (3 , - 1) - это нормальный вектор для прямой 3 x - y + 2 = 0 .

    Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y - 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

    Векторы n a → = (3 , - 1) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

    Необходимое и достаточное условие было выполнено.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b - y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k 1 , - 1) и (k 2 , - 1) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 .

    Пример 5

    Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 .

    Решение

    Прямая y = - 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный - 3 7 , а прямая y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 .

    Произведение угловых коэффициентов дает значение - 1 , - 3 7 · 7 3 = - 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

    Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

    Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

    Теорема 3

    Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

    Доказательство 3

    Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

    Пример 6

    Определить, являются ли заданные прямые x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 перпендикулярными.

    Решение

    Получаем, что нормальный вектор прямой x - y - 1 = 0 имеет координаты n a → = (1 , - 1) , а b → = (0 , 2) - направляющий вектор прямой x 0 = y - 4 2 .

    Отсюда видно, что векторы n a → = (1 , - 1) и b → = (0 , 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

    Ответ: прямые не перпендикулярны.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Предварительные сведения о прямых

    Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

    Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины. Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Сама же прямая является бесконечной на обоих своих концах.

    Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 1).

    Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

    Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

    Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

    Аксиома 3: Через 2 произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

    Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

    1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
    2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
    3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

    Перпендикулярность прямых

    Рассмотрим две произвольные пересекающиеся прямые. Очевидно, что в точке их пересечения образовывается 4 угла. Тогда

    Определение 1

    Пересекающиеся прямые будем называть перпендикулярными, если хотя бы один угол, образованный их пересечением равняется $90^0$ (рис. 2).

    Обозначение: $a⊥b$.

    Рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Найти углы 1, 2 и 3 из рисунка ниже

    Угол 2 является вертикальным для данного нам угла, следовательно

    Угол 1 является смежным для угла 2, следовательно

    $∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

    Угол 3 является вертикальным для угла 1, следовательно

    $∠3=∠1=90^0$

    Из этой задачи можем сделать следующее замечание

    Замечание 1

    Все углы между перпендикулярными прямыми равняются $90^0$.

    Основная теорема перпендикулярных прямых

    Введем следующую теорему:

    Теорема 1

    Две прямые, являющиеся перпендикулярными для третьей будут непересекающимися.

    Доказательство.

    Рассмотрим рисунок 3 по условию задачи.

    Разделим мысленно данный рисунок на две части прямой $(ZP)$. Наложим правую часть на левую. Тогда, так как прямые $(NM)$ и $(XY)$ перпендикулярны к прямой $(PZ)$ и, следовательно, углы между ними прямые, то луч $NP$ наложется целиком на луч $PM$, а луч $XZ$ наложется целиком на луч $YZ$.

    Теперь, предположим противное: пусть эти прямые пересекаются. Без ограничения общности предположим, что они пересекаются с левой стороны, то есть, пусть луч $NP$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O$. Тогда, по конструкции, описанной выше, будем получать, что и луч $PM$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O"$. Но тогда мы получаем, что через две точки $O$ и $O"$, проходит две прямые $(NM)$ и $(XY)$, что противоречит аксиоме 3 прямых.

    Следовательно, прямые $(NM)$ и $(XY)$ не пересекаются.

    Теорема доказана.

    Пример задачи

    Пример 2

    Даны две прямые, которые имеют точку пересечения. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них проведены две прямые, одна из которых перпендикулярна одной из выше описанных прямых, а другая - другой из них. Доказать, что они не совпадают.

    Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 4).

    Из условия задачи будем иметь, что $m⊥k,n⊥l$.

    Предположим противное, пусть прямые $k$ и $l$ совпадают. Пусть это будет прямой $l$. Тогда, по условию $m⊥l$ и $n⊥l$. Следовательно, по теореме 1, прямые $m$ и $n$ не пересекаются. Получили противоречие, а значит прямые $k$ и $l$ не совпадают.