• Сумма и разность кубов двух выражений примеры. Куб разности и разность кубов: правила применения формул сокращенного умножения

    Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее - в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

    Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

    Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

    Квадрат суммы

    Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

    Квадрат разности

    Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а - с)² = а² - 2ас + с².

    Разность квадратов

    Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² - с² = (a + с)·(a - с).

    Куб суммы

    Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

    Сумма кубов

    Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² - ас + с²).

    Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

    Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

    Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу "Сумма кубов", которая значительно упростит вычисления.

    Куб разности

    Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а - с)³ = а³ - 3а²с + 3ас² - с³.

    Разность кубов

    Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов - формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 - с 3 = (а - с)(а 2 + ас + с 2).

    Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

    Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную "Разность кубов" (или "Куб разности"), которае значительно упростит вычисления.

    В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

    В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

    Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

    Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

    a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

    Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

    Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

    (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

    Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

    Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

    Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

    Применение разности кубов в обратную сторону

    Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

    Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

    Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.


    Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

    Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
    «a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

    Формулы сокращенного умножения.

    Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

    Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

    Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

    Пусть а, b R. Тогда:

    1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

    2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

    3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

    a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

    4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

    (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

    5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

    (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

    6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

    a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

    7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

    a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

    Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

    Пример 1.

    Вычислить

    а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

    (40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

    б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

    98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

    Пример 2.

    Вычислить

    Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

    Пример 3.

    Упростить выражение

    (х - у) 2 + (х + у) 2

    Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

    (х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

    Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

    (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
    (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
    a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
    (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
    (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
    a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
    a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

    Разность квадратов

    Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.

    Для этого вспомним следующее правило:

    Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.

    Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:

    Итого, получим:

    То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.

    Пример 1

    Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$

    \[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]

    \[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

    Сумма кубов

    Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.

    Вынесем за скобки общие множители:

    Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:

    Итого, получим:

    То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

    Пример 2

    Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$

    Данное выражение можно переписать в следующем виде:

    \[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]

    Используя формулу разности квадратов, получим:

    \[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

    Разность кубов

    Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.

    Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.

    Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:

    Вынесем за скобки общие множители:

    Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:

    Итого, получим:

    То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

    Пример 3

    Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$

    Данное выражение можно переписать в следующем виде:

    \[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]

    Используя формулу разности квадратов, получим:

    \[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

    Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов

    Пример 4

    Разложить на множители.

    а) ${(a+5)}^2-9$

    в) $-x^3+\frac{1}{27}$

    Решение:

    а) ${(a+5)}^2-9$

    \[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]

    Применяя формулу разности квадратов, получим:

    \[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]

    Запишем данное выражение в виде:

    Применим формулу кумы кубов:

    в) $-x^3+\frac{1}{27}$

    Запишем данное выражение в виде:

    \[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]

    Применим формулу кумы кубов:

    \[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]